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일반적으로 크랭크 각도 θ=0^o에서 하사점인 크랭크 핀에 연결되어 왕복 운동하는 질량에 작용하는 가속도 a는 식 (1)과 같다.

이를 적용하여, 위상차를 갖는 각 크랭크 핀에 작용하는 x 방향 및 y 방향 힘들은 다음과 같이 구한다.

i=1, 3, 5 인 경우,

i=2, 4, 6 인 경우,

축 양단의 균형추로 인해 발생하는 원심력들 F_cw1 및 F_cw2의 x 및 y 방향 성분은 각각 식(4) - 식 (5)와 같다.

여기서 W_i, W_r, W_cw는 각각 W_i=M_irω²,W_r=m_rrω², 그리고W_cw=m_cwr_cwω² 이다. 이때 M_i는 i번째 크랭크 핀에 연결되어 왕복 운동 하는 부품들의 질량으로 피스톤(m_p), 피스톤 봉(m_pr), 크로스 헤드(m_ch), 그리고 연결봉의 직선운동 부분(m_cr1)의 합으로 이루어진다. m_r은 회전 운동을 하는 질량으로 크랭크 핀의 질량(m_cp)과 크랭크 핀에 연결되는 연결봉의 회전 운동하는 부분의 질량(m_cr2)의 합이다.

6개의 크랭크 핀들에 작용하는 힘들의 총합을 x 및 y 방향으로 각각 F_xo 및 F_yo, 균형추에 의한 힘들을 각각 F_x,cw 및 F_y,cw라고 하면, 크랭크 축 전체에 걸리는 각 방향의 힘들은 식 (6a) 및 (6b)와 같다. 이때 크랭크 축 양단에 설치한 균형추들은 서로 180도 위상차를 가지고 있으므로 이들이 발생하는 힘들은 서로 상쇄되어 불균형력 자체에는 영향을 주지 않는다.

크랭크 축 시스템에 작용하는 x 방향과 y 방향의 불균형 모멘트 M_x 및 M_y는 축 중간부를 모멘트 중심으로 잡으면, 각각 식 (7) 및 식 (8)과 같다.

식 (7)과 식 (8)에 앞서 식 (1)~식 (5)에서 주어진 각 힘들을 대입하여 정리하면, M_x 및 M_y는 각각 식 (9) 및 식 (10)과 같아진다.

이로부터 총모멘트의 평균값 M2¯을 구하면,

여기서 a, b, c, d, e 및 β는 식 (12)~식 (17)과 같다.

식 (11)에서 c에 대한 2차승 항과 상수항은 모두 양수(+)이기 때문에 c에 대한 1차승 항의 계수가 최소일 때 모멘트 M2¯가 최소가 되게 된다. 즉, sin(α+β)=-1 에서 M2¯가 최소가 된다.

여기서 β는 a, b, d, 그리고 e에 의해 결정되는, 즉 각 크랭크 핀에 연결된 질량들과 각 크랭크 핀 사이의 z축 방향 거리들로 인해 결정되는 값이며, α는 균형추 위상각으로 이 값은 설계자가 결정하는 값이다. 따라서 크랭크축에 걸리는 불균형 모멘트 M2¯를 최소화 해주는 균형추 위상각은 식 (18)과 같고, 이때의 불균형 모멘트 M2¯는 식 (19)로 주어진다.

이 식에서 변수 c는 식 (14)에서와 같이c=2l_cwW_cw로서 균형추의 원심력과 크랭크 축 중심에서 z축 방향 거리의 곱으로 표현되는 설계 변수이다. 불균형 모멘트에 관한 식 (19)에서 불균형 모멘트가 최소가 되는 c값은 식 (20)과 같다

균형추의 위상각과 균형추의 원심력과 거리의 곱을 나타내는 식 (18)과 식 (20)에 (12)~(17)을 대입하여 정리하면, 최적화된 균형추의 위상각 α와 원심력 W_cw은 각각 식 (21)과 식 (22)로 정의된다.

6기통에서 구한 균형추 설계 방법을 Fig. 3과 같은 대향형 4기통 왕복동 압축기의 크랭크축에 동일하게 적용하면, 불균형 모멘트를 최소화 해주는 균형추의 위상각과 원심력은 각각 식 (23) 및 식 (24)와 같다. 앞서 6기통에서와 마찬가지로 2개의 균형추가 서로 180도 위상차를 갖도록 설치되므로 균형추 설치가 크랭크축의 불균형력에 미치는 영향은 없다. 대향형 4기통에서는 토크 변동 폭이 최소화 되도록 크랭크 핀들이 각각 90도의 위상차를 갖도록 배열된다.

Fig. 3 
Forces on a 4-throw crankshaft with phase-angled counterweights on both ends: (a) 4-throw crankshaft, (b) forces on the crankshaft

6기통 크랭크축에서 Case 1의 경우는 피스톤 1번과 3번은 1단에, 피스톤 2번과 4번은 2단에, 피스톤 6번은 3단에, 그리고 피스톤 5번은 4단에 적용하는 4단 압축의 예이다. 1, 3번 피스톤의 질량은 21.1 kg, 2, 4번 피스톤의 질량은 10.1 kg, 5번 피스톤의 질량은 6.1 kg 그리고 6번 피스톤의 질량은 8.1 kg이다. Case 2는 6기통 모두를 1단 압축에 사용한다고 가정한 경우로 각 피스톤의 질량이 모두 21.1 kg이다.

Fig. 4는 크랭크축에 걸리는 x방향 힘들을 크랭크 각도에 따라 보여준다. 식 (6a)를 통해 Case 1의 경우는 피스톤의 질량들이 다르기 때문에 불균형력이 발생하게 되고 이러한 불균형력은 균형추 유무와는 무관하다. Case 2의 경우엔 모든 피스톤의 질량이 같아 서로 상쇄되어 불균형력이 발생하지 않는다. y 방향의 힘은 두 경우 모두 식(6b)와 같이 항상 0이다.

Fig. 4 
Unbalanced force in x direction for a 6 throw type

4단 압축의 경우인 Case 1에서 불균형 모멘트에 미치는 균형추의 영향을 Fig. 5에 나타내었다. 이때 적용한 균형추는 식 (21)을 통해 구한 위상각 α=357.8°와 식 (22)를 통해 구한 원심력W_cw=283.1N의 값을 갖는 균형추이다.

Fig. 5 
Unbalance Moments of a 6-throw type for 4 stage compression: (a) Mx, My (b) M¯

Fig. 5(a)(b)는 Case 1에서 균형추로 인한 불균형 모멘트 변화를 각각 방향별로(M_x, M_y) 그리고 전체 값(M_t)으로 보여준다. 불균형 모멘트의 평균값(M¯)은 균형추 적용 전 669.4 Nm에서 균형추 적용 후 526.2 Nm으로 감소하였고, 불균형 모멘트 변동 폭(peak to peak)은 균형추 적용 전 1210.2 Nm (3.2 Nm ~ 1,213.4 Nm)에서 균형추 적용 후 356 Nm (339.9 Nm ~ 695.9 Nm)로 70.6% 감소하였다.

Case 2의 경우에는 각 크랭크 핀에 걸리는 왕복 운동의 질량이 모두 같으므로 식 (22)는 식 (25)로 정리되며, 본 실시 예의 경우에는 l₁-l₂-2l₃=0 이므로 W_cw=0, 즉 균형추가 없어야 하는 결과가 나온다. 일반적으로 대향형 6기통에서는 균형추를 별도로 설치하지 않는데, 이는 앞서 살펴 본 바와 같이 불균형력 자체는 대칭 균형추에 의해 영향 받지 않기 때문이며 불균형 모멘트에 대해서는 별도의 조치가 없는 것이 통상적이다.

Table 3에 Case 1에 대한 계산 결과를 요약하였다.

4기통 크랭크축에서 3단 압축을 수행하는 Case 3의 경우, 1단으로 사용하는 1, 3번 피스톤의 질량은 21.1 kg, 2단에 사용하는 2번 피스톤의 질량은 10.1 kg 그리고 3단에 사용하는 4번 피스톤의 질량은 8.1 kg이다. Case 4는 4기통 모두를 1단에 사용하는 경우로서 각 피스톤의 질량이 모두 21.1 kg으로 같다.

Fig. 6은 크랭크 각도에 따른 크랭크축에 걸리는 x방향 불균형력을 보여준다. 6 throw의 경우와 마찬가지로 Case 3의 경우는 피스톤의 질량들이 다르기 때문에 불균형력이 발생하게 되고, Case 4 의 경우엔 모든 피스톤의 질량이 같아 서로 상쇄되어 불균형력이 발생하지 않는다.

Fig. 6 
Unbalance force of a 4-throw type

Case 3과 Case 4에 대한 불균형 모멘트는 각각 Fig. 7과 Fig. 8에 나타내었다. Case 3의 경우균형추의 위상각과 원심력은 각각 식 (23) 및 (24)에 따라 각각 α=357.8°및 W_cw=764.1N이 된다. Fig. 7(a)(b)는 Case 3에서 균형추 설치가 불균형 모멘트에 미치는 영향을 각각 방향별(M_x, M_y) 및 전체 값(M_t)에 대해 비교하여 보여준다.

Fig. 7 
Unbalance Moments of a 4-throw type for 3 stage compression: (a) Mx, My (b) M¯

Fig. 8 
Unbalance Moments of a 4-throw type for 1 stage compression: (a) Mx, My (b) M¯

불균형 모멘트의 평균값(M¯)은 균형추 적용 전 1030.5 Nm에서 균형추 적용 후 650.4 Nm으로 감소하였고, 불균형 모멘트 변동 폭(peak to peak)은 균형추 적용 전 1496.5 Nm(239.7 Nm ~ 1736.2 Nm)에서 균형추 적용 후 395.8 Nm(445.1 Nm ~ 840.9 Nm)으로 73.6% 감소하였다.

4기통 전부를 1단 압축에 사용하는 Case 4의 경우 균형추의 위상각과 원심력은 각각 식 (23) 및 식 (24)에 따라 각각 α=315°및 W_cw=778N 이 된다.

Fig. 8(a)(b)는 Case 4에서 각각 x 방향과 y 방향, 그리고 합 방향으로의 불균형 모멘트를 균형추 유무에 따라 비교하여 보여준다.

불균형 모멘트의 평균값(M¯)은 균형추 적용 전 1026.6 Nm에서 균형추 적용 후 609.0 Nm으로 감소하였고, 불균형 모멘트 변동 폭은 균형추 적용 전 1217.9 Nm (314.1 Nm ~ 1532.0 Nm)에서 균형추 적용 후 변동이 사라졌다.

이상의 4기통 크랭크축에서의 계산 결과를 Table 4에 요약하였다.